On the Baer extension problem for multidimensional linear systems

Within an algebraic analysis approach, the purpose of the paper is to constructively solve the following problem: given two fixed multidimensional linear systems S1 and S2, parametrize the multidimensional linear systems S which contain S1 as a subsystem and satisfy that S/S1 is isomorphic to S2. In order to study this problem, we use Baer’s classical interpretation of the extension functor and give an explicit characterization and parametrization of the equivalence classes of multidimensional linear systems S solving this problem. We then use these results to parametrize the equivalence classes of multidimensional linear systems S which admit a fixed parametrizable subsystem S1 and satisfy that S/S1 is isomorphic to a fixed autonomous system S2. We illustrate the main results by means of explicit examples of differential time-delay systems. Key-words: Multidimensional linear systems, Baer’s interpretation of the extension functor, constructive algebra, module theory, homological algebra, behavioural approach, differential time-delay systems, parametrizations, autonomous elements, controllability. ∗ INRIA Sophia Antipolis, APICS project, 2004 Route des Lucioles BP 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex, France, [email protected] † Lehrstuhl B für Mathematik RWTH Aachen, Templergraben 64, 52056 Aachen, Germany, [email protected] Sur le problème d’extention de Baer pour les systèmes linéaires multidimensionnels Résumé : A l’aide de l’analyse algébrique, le but de ce papier est de résoudre de manière constructive le problème suivant: étant donnés deux systèmes linéaires multidimensionnels S1 et S2, paramétrer les systèmes linéaires multidimensionnels S qui contiennent S1 comme sous-système et tels que S/S1 soient isomorphes à S2. Pour étudier ce problème, nous utilisons l’interprétation de Baer du foncteur extension et nous donnons une caractérisation et une paramétrisation explicite des classes d’équivalence des systèmes linéaires multidimensionnels S satisfaisant à ce problème. Nous utilisons alors ces résultats pour paramétrer les classes d’équivalence des systèmes linéaires multidimensionnels S qui admettent un sous-système paramétrisable donné S1 et sont tels que S/S1 soient isomorphes à un système autonome donné S2. Nous illustrons les résultats importants par des exemples explicites de systèmes d’équations différentielles à retard. Mots-clés : Systèmes linéaires multidimensionnels, interprétation de Baer du foncteur extension, algèbre constructive, théorie des modules, algèbre homologique, approche comportementale, systèmes différentiels à retard, paramétrisations, éléments autonomes, contrôlabilité. On the Baer extension problem for multidimensional linear systems 3